Question

4．已知$\frac{1}{C_5^m}$-$\frac{1}{C_6^m}$=$\frac{7}{10C_7^m}$，则C₂₁^m=210．

Answer 1

分析 由组合数性质得$\frac{m!（5-m）!}{5!}$-$\frac{m!（6-m）!}{6!}$=$\frac{7•m!（7-m）!}{10•7!}$，由此求出m，进而能求出结果．

解答 解：∵$\frac{1}{C_5^m}$-$\frac{1}{C_6^m}$=$\frac{7}{10C_7^m}$，
∴$\frac{m!（5-m）!}{5!}$-$\frac{m!（6-m）!}{6!}$=$\frac{7•m!（7-m）!}{10•7!}$，
化简，得：6×（5-m）!-（6-m）!=$\frac{7-m!}{10}$，
6-（6-m）=$\frac{（7-m）（6-m）}{10}$，
∴m²-23m+42=0，
解得m=2或m=21（舍去），
∴${C}_{21}^{m}={C}_{21}^{2}$=210．
故答案为：210．

点评 本题考查组合数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意组合数公式及性质的合理运用．