Question

定义：对于任意n∈N^*，满足条件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列{a_n}称为T数列．
（1）若a_n=-n²（n∈N^*），证明：数列{a_n}是T数列；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=24n-3ⁿ，且数列{b_n}是T数列，求M的取值范围；
（3）设数列c_n=q-

1

n-p

（n∈N^*），问数列{c_n}是否是T数列？请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=-n2数列{a_n}满足

an+an+2

2

≤an+1，由此能证明数列{a_n}是T数列．
（2）由bn=24n-3n，得bn+1-bn=24(n+1)-3n+1-24n+3n=24-2•3n，由此能求出M的取值范围．（3）假设数列{c_n}是T数列，依题意有

cn+cn+2

2

-cn+1≤0对任意n恒成立，从而p＜1，M≥q，由此能求出当p＜1且M≥q时，数列{c_n}是T数列．

解答： 解：（1）由an=-n2得an+an+2-2an+1=-n2-(n+2)2+2(n+1)2=-2＜0
所以数列{a_n}满足

an+an+2

2

≤an+1．（2分）
an=-n2（n∈N^*）单调递减，
所以当n=1时，a_n取得最大值-1，即a_n≤-1．
所以，数列{a_n}是T数列．（4分）
（2）由bn=24n-3n，
得bn+1-bn=24(n+1)-3n+1-24n+3n=24-2•3n，
当24-2•3ⁿ≥0，即n≤2时，b_n+1-b_n＞0，此时数列{b_n}单调递增；   （6分）
而当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减；
因此数列{b_n}中的最大项是b₃，
所以M的取值范围是 M≥b3=

49

4

．（9分）
（3）假设数列{c_n}是T数列，依题意有：cn+cn+2-2cn+1=

1

p-n

+

1

p-(n+2)

-

2

p-(n+1)

=

2

(p-n)(p-n-1)(p-n-2)

（11分）
因为n∈N^*，所以当且仅当p小于n的最小值时，

cn+cn+2

2

-cn+1≤0对任意n恒成立，
即可得p＜1．（14分）
又当p＜1时，n-p＞0，cn=q-

1

n-p

＜q，故M≥q（16分）
综上所述：当p＜1且M≥q时，数列{c_n}是T数列． （18分）

点评：本题考查数列{a_n}是T数列的证明，考查M的取值范围的求法，考查数列{c_n}是否是T数列的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．