Question

1．已知随圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与过原点的直线交于A、B两点，右焦点为F，∠AFB=120°，若△AFB的面积为4$\sqrt{3}$，则椭圆E的焦距的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． [2$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [4$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式和椭圆的性质得出a≥4，再根据三角形的面积公式得出当A与短轴端点重合时，c取得最小值，利用椭圆的性质求出2c的最小值即可．

解答 解：取椭圆的左焦点F₁，连接AF₁，BF₁，
则AB与FF₁互相平分，
∴四边形AFBF₁是平行四边形，
∴AF₁=BF，
∵AF+AF₁=2a，∴AF+BF=2a，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BF•sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AF•BF=4$\sqrt{3}$，
∴AF•BF=16，
∵2a=AF+BF≥2$\sqrt{AF•BF}$=8，∴a≥4，
又S_△ABF=$\frac{1}{2}×c×2|{y}_{A}|$=c•|y_A|=4$\sqrt{3}$，
∴c=$\frac{4\sqrt{3}}{|{y}_{A}|}$，
∴当|y_A|=b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$时，c取得最小值，此时b=$\sqrt{3}$c，
∴a²=3c²+c²=4c²，∴2c=a，
∴2c≥4．
故选B．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．