Question

16．已知函数f（x）=|x+3|+|2x-4|．
（1）当x∈[-3，3]时，解关于x的不等式f（x）＜6；
（2）求证：?t∈R，f（x）≥4-2t-t²．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于t的不等式，证出即可．

解答 解：（1）当-3≤x≤2时，f（x）=x+3-（2x-4）=-x+7，
故原不等式可化为-x+7＜6，
解得：x＞1，故1＜x≤2；
当2＜x≤3时，f（x）=x+3+（2x-4）=3x-1，
故原不等式可化为3x-1＜6，解得$2＜x＜\frac{7}{3}$；
综上，可得原不等式的解集为$\left\{{x|1＜x＜\frac{7}{3}}\right\}$．
（2）证明：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x+1，x≤-3}\\{-x+7，-3＜x≤2}\\{3x-1，x＞2}\end{array}}\right.$，

由图象，可知f（x）≥5，
又因为4-2t-t²=-（t+1）²+5≤5，
所以f（x）≥4-2t-t²．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．