Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，记f（x）=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式并标出其定义域；
（2）设g（x）=6mf（x）+1（m＜0），若g（x）的值域为[-

3

2

，1），求实数m的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；利用数量积定义可得f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin(

π

3

-x)×

1

2

，化简即可；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；
∴BC=

2 3

3

sinx，AB=

2 3

3

sin(

π

3

-x)；
∴f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin(

π

3

-x)×

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx
=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

(0＜x＜

π

3

)．
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1，
∵x∈(0，

π

3

)，
∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，
则sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
当m＜0时，g（x）=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域为[m+1，1]．
又g（x）的值域为[-

3

2

，1），解得m=-

5

2

．
∴综上：m=-

5

2

．

点评：本题考查了正弦定理、数量积定义、正弦函数的单调性、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．