Question

已知三角函数f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x-

π

6

）+4cosx，试求函数g（x）在x∈[0，π]上的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题知A+b=3，-A+b=-1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，即可求得A，b，ω，φ的值，从而可求函数的解析式；
（2）由已知化简得g（x）=4(cosx+

1

2

)2-2可求当cosx=1时，有g（x）_max=7；当cosx=-

1

2

时，有g（x）_min=-2，于是可求函数g（x）在x∈[0，π]上的值域．

解答：
（1）由题知A+b=3，-A+b=-1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，
所以A=2，b=1，ω=

2π

T

=2，又f（

π

3

）=-1得φ=

π

3

所以函数的解析式：f（x）=2cos（2x+

π

3

）+1…（6分）
（2）g（x）=f（x-

π

6

）+4cosx=2cos2x+1+4cosx
=4cos²x+4cosx-1
=4(cosx+

1

2

)2-2  …（9分）
因x∈[0，π]时，cosx∈[-1，1]，从而当cosx=1时，有g（x）_max=4(1+

1

2

)2-2=7；当cosx=-

1

2

时，
有g（x）_min=-2，于是函数g（x）在x∈[0，π]上的值域为[-2，7]…（12分）

点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的最值的求法，属于中档题．