Question

已知f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）若f（x）在（-1，1）上单调递减，且f（1-a）+f（1-2a）＜0．求实数a的取值范围．
（2）当0＜x＜1时，f（x）=x²+x=1，求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，可将原不等式化为f（1-a）＞f（2a-1），进而结合函数f（x）是定义在（-1，1）上的单调递减函数，可将原不等式化；
（2）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1 故f（-x）=x²-x+1，先求出f（x）的解析式，又f（x）是奇函数，可得f（0）=0，最后分段表示函数．

解答： 22．解：（1）解：∵函数f（x）为奇函数
∴f（1-a）+f（1-2a）＜0可化为f（1-a）＜-f（1-2a），即f（1-a）＜f（2a-1）
又∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的单调递减函数
∴

-1＜1-a＜1 -1＜2a-1＜1 1-a＞2a-1

，解得0＜a≤

2

3

故实数a的取值范围为（0，

2

3

]
（ 2）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1
∴f（-x）=x²-x+1
又f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=x²-x+1，∴f（x）=-x²+x-1
又f（x）是奇函数，∴f（0）=0
所以f（x）的解析式为y=

x2+x+1，0＜x＜1 0，x=0 -x2+x-1，-1＜x＜0

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，解答中易忽略函数的定义域，而错解．