Question

已知函数f（x）=4cosω•sin（ωx-

π

6

）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）=2，b+c=

3 3

2

，a=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）利用两角和差的正弦函数可得f（x）=2sin(2ωx-

π

6

)．再利用周期性、单调性即可得出．
（II）由f（A）=2，可得sin(2A-

π

6

)=1，由于-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，可得2A-

π

6

=

π

2

，解得A．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，可得bc，利用△ABC的面积S=

1

2

bcsinA即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=4cosωx•sin（ωx-

π

6

）+1=4cosωx(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)+1
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin(2ωx-

π

6

)．
∵函数f（x）的最小正周期是π，∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
（II）∵f（A）=2，∴sin(2A-

π

6

)=1，∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
∴3=(

3 3

2

)2-3bc，化为bc=

5

4

．
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

4

•sin

π

3

=

5 3

16

．

点评：本题考查了正弦函数的单调性与周期性、两角和差的正弦公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．