Question

11．已知函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+sin（{2x-\frac{π}{6}}）+cos2x+1$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求边c．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）由f（A）求出A的值，再利用三角恒等变换求出sinC的值，利用正弦定理求出c的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+sin（{2x-\frac{π}{6}}）+cos2x+1$
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+cos2x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，其中k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）；
（2）由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1得f（A）═2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=3，
解得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1；
又△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，
∴0＜A＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
∴sinC=sin（π-A-B）
=sin（A+B）
=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）
=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；
由正弦定理知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题．