Question

14．已知圆C的圆心C在直线y=x+1上，且与x轴相切，被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点（-2，0）的直线l与圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆的标准方程，根据圆心在直线y=x+1上，且与x轴相切，被y轴截得的弦长为2$\sqrt{5}$，建立方程组，即可求出a，b及r的值，从而确定出圆的方程．
（2）y=k（x+2），代入（x-2）²+（y-3）²=9，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{|b|=r}\\{b=a+1}\\{{a}^{2}+5={r}^{2}}\end{array}\right.$，∴a=2，b=r=3，
∴圆C的标准方程（x-2）²+（y-3）²=9；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程y=k（x+2），则
y=k（x+2），代入（x-2）²+（y-3）²=9，可得（1+k²）x²+（4k²-6k-4）x+4k²-12k+4=0，
根据韦达定理：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}-6k-4}{1+{k}^{2}}$；x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12k+4}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²=（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12k+4}{1+{k}^{2}}$+2k²•（-$\frac{4{k}^{2}-6k-4}{1+{k}^{2}}$）+4k²=4，
∴k（4k-3）=0．
∴k=$\frac{3}{4}$，k=0舍去．

点评 本题考查待定系数法求圆的方程，考查学生的计算能力，考查向量的数量积公式，属于中档题．