Question

20．已知在△ABC中，b²+a²-c²＜0，且b＞a，sinA+$\sqrt{2}$cosA=$\frac{5}{3}$，则tanA=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{7\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{7\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 b²+a²-c²＜0，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，C∈（0，π）．C为钝角．又b＞a，可得A∈$（0，\frac{π}{4}）$．又sinA+$\sqrt{2}$cosA=$\frac{5}{3}$，sin²A+cos²A=1．联立解出即可得出．

解答 解：∵b²+a²-c²＜0，∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，C∈（0，π）．
∴C为钝角．
又b＞a，∴A∈$（0，\frac{π}{4}）$．
又sinA+$\sqrt{2}$cosA=$\frac{5}{3}$，sin²A+cos²A=1．
解得：sinA=$\frac{1}{3}$，cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
则tanA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、方程思想、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．