已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0.以极点为原点.极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线l过点M(1.0).倾斜角为$\frac{π}{6}$．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程,(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C′.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin²θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

分析（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为ρ²-4ρcosθ+3ρ²sin²θ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$，能求出直线l的参数方程．
（Ⅱ）由曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C′，求出曲线C′为：（x-2）²+y²=4，把直线l的参数方程代入曲线C′，得：${t}^{2}-\sqrt{3}t-3=0$，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，由此能求出|MA|+|MB|．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin²θ=0，∴ρ²-4ρcosθ+3ρ²sin²θ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x+3y²=0，整理，得（x-2）²+4y²=4，
∵直线l过点M（1，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{y=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t是参数）．
（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲线C′，
∴曲线C′为：（x-2）²+y²=4，
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t是参数）代入曲线C′：（x-2）²+y²=4，得：
${t}^{2}-\sqrt{3}t-3=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\sqrt{3}$，t₁t₂=-3，
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{3+12}$=$\sqrt{15}$．

点评本题考查曲线的直角坐标方程与直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

试题分类