Question

11．已知函数f（x）=4e^x（x+1）-k（$\frac{2}{3}$x³+2x²），若x=-2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-2e，e]
• B． [0，2e]
• C． （-∞，-e）∪[e，2e]
• D． （-∞，-e）∪[0，e]

Answer 1

分析 求导，f′（x）=4（x+2）（e^x-$\frac{k}{2}$x），由x=-2是函数f（x）的唯一一个极值点，则g（x）=e^x-$\frac{k}{2}$x≥0，符合题意，根据导数的几何意义可得0≤$\frac{k}{2}$≤e，即可求得实数k的取值范围．

解答 解：由f′（x）=4e^x（x+1）+4e^x-k（2x²+4x）
=4e^x（x+2）-2kx（x+2）=4（x+2）（e^x-$\frac{k}{2}$x），
由x=-2是函数f（x）的唯一一个极值点，
画出y=e^x，y=$\frac{k}{2}$x图象，由g（x）=e^x-$\frac{k}{2}$x≥0，符合题意，
则y=e^x，过原点的切线斜率为e，只需要0≤$\frac{k}{2}$≤e，
∴0≤k≤2e，
数k的取值范围[0，2e]，
故选B．

点评 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性及极值的关系，导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题．