Question

12．若曲线$C：y=cosx（{x∈（{0，\frac{π}{2}}]}）$上一点P（x₀，cosx₀）处的切线与x轴，y轴分别交于A，B两点，则当$OA+\frac{1}{OB}$取得最小值时，OB的值为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求出切线方程，得到B的坐标，根据不等式的性质求出OB的值即可．

解答 解：切点P的坐标是（x₀，cosx₀），（x₀∈（0，$\frac{π}{2}$]），
则切线的斜率是-sinx₀，
故切线AB的方程是：y-cosx₀=-sinx₀（x-x₀），
故B（0，cosx₀+x₀sinx₀），A（$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，0）
故|OB|=cosx₀+x₀sinx₀，OA=$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，即$\frac{OB}{OA}$=sinx₀，
故OA+$\frac{1}{OB}$$≥\sqrt{OA•\frac{1}{OB}}$=2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$≥2，
当且仅当x₀=$\frac{π}{2}$时取“=”，
故OB=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查不等式的性质，是一道中档题．