题目内容
13．元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一个摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折．（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二中方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
（2）若你评优看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案．
分析 （1）选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，由此能求出至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率．
（2）若选择方案一，则需付款9.4万元；若选择方案二，设付款金额为X万元，则X可能的取值为6，7，8，10，分别求出相应的概率，从而求出X的数学期望，由此得到选择第二种方案更划算．
解答 解：（1）选择方案二比方案一更优惠，
则需要至少摸出一个幸运球，
设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A，
则$P（A）=\frac{2×2×3}{4×4×4}=\frac{3}{16}$，
故所求概率$P=1-P（A）P（A）=1-{（\frac{3}{16}）^2}=\frac{247}{256}$．（4分）
（2）若选择方案一，则需付款10-0.6=9.4（万元）． 5分）
若选择方案二，设付款金额为X万元，
则X可能的取值为6，7，8，10，$P（X=6）=\frac{2×2×1}{4×4×4}=\frac{1}{16}，P（X=7）=\frac{2×2×3+2×2×1+2×2×1}{4×4×4}=\frac{5}{16}$，$P（X=8）=\frac{2×2×3+2×2×3+2×2×1}{4×4×4}=\frac{7}{16}$，$P（X=10）=\frac{3}{16}$，（9分）
故X的分布列为
| X | 6 | 7 | 8 | 10 |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{5}{16}$ | $\frac{7}{16}$ | $\frac{3}{16}$ |
所以选择第二种方案更划算．（12分）
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想，是中档题．
练习册系列答案
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