Question

2．已知函数$f（x）=-\frac{1}{a}+\frac{2}{x}（x＞0）$
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的增减性，并证明你的结论    
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用定义法进行证明，设x₁＞x₂＞0，作差可得：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，结合x₁、x₂的范围，分析f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得证明；
（2）根据题意，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分别求出x的取值范围，综合可得答案．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上是减函数，
证明：设x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由x₁＞x₂＞0，
则有f（x₁）-f（x₂）＜0；
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）f（x）＞0，即-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$＞0，
变形可得：$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{a}$，
当a＜0时，$\frac{1}{a}$＜0，其解集为（0，+∞）；
当a＞0时，$\frac{1}{a}$＞0，
则有x＜2a，即此时不等式的解集为（0，2a）
故不等式f（x）＞0的解集为$\left\{\begin{array}{l}{（0，+∞），a＜0}\\{（0，2a），a＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数单调性的判定与单调性的应用，关键掌握定义法证明函数 单调性的步骤．