题目内容
7．若三棱锥P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（ ）| A． | $\frac{4π}{3}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{4}$ |
分析 利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，求出PA=$\sqrt{2}$，三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为$\sqrt{2+1+1}$=2，可得三棱锥P-ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．
解答 解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，
∴PA=$\sqrt{2}$，
三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为$\sqrt{2+1+1}$=2，
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为1，
∴三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{4π}{3}$，
故选A．
点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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