Question

14．设点P在曲线y=e^x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值..

解答 解：∵曲线y=e^x（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d，
设曲线y=e^x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，
故切点坐标为（0，1），即b=1，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴丨PQ丨的最小值为2d=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．