Question

在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=

π

3

，AB=CC₁=2．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求AE和平面ABC所成角正弦值的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）要证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁⊥AB，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明；
（Ⅱ）要确定E点的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂线定理，必有BE⊥B₁E，通过解直角三角形BEB₁解决；
（Ⅲ）证明侧面BB₁C₁C⊥平面ABC₁，过E做BC₁的垂线交BC₁于F，则EF⊥平面ABC₁，连接AF，可得∠EAF为AE和平面ABC所成角．

解答： （Ⅰ）证明：∵BC=1，∠BCC₁=

π

3

，CC₁=2
∴由余弦定理可得BC₁=

3

，
∴BC2+

BC

2 1

=

CC

2 1

，
∴BC₁⊥BC．
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB  且BC∩AB=B
∴C₁B⊥平面ABC；------（4分）
（Ⅱ）解：连接BE，EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
从而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨设CE=x，则C₁E=2-x，则BE²=1+x²-x，
又∵∠B₁C₁C=

2π

3

，则B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁；------（8分）
（Ⅲ）解：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，AB?平面ABC₁，
∴侧面BB₁C₁C⊥平面ABC₁，
过E做BC₁的垂线交BC₁于F，则EF⊥平面ABC₁，连接AF，
∴∠EAF为AE和平面ABC所成角．
∵BC⊥BC₁，EF⊥BC₁，
∴BC∥EF，
∵E为C₁C的中点，
∴F为C₁B的中点，
∴EF=

1

2

，
由（Ⅱ）知AE=

5

，
∴sin∠EAF=

1 2

[  ]5

=

5

10

------（14分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．