Question

矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
（1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
（3）设线段OF的n（n∈N₊，n≥2）等分点从左向右依次为R_i（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为T_i（i=1，2，…，n-1），那么直线ER_i（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，2a=AB=8，2b=BC=6，求出a，b，即可得出椭圆Q的方程；
（2）确定直线ER的方程、直线GR′的方程，联立可解得L的坐标，代入椭圆方程，即可得证．
（3）由（2）知，直线ER_i（i=1，2，…，n-1）与直线GT_i（i=1，2，…，n-1）的交点一定在椭圆Q上．

解答： 解：（1）由题意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴椭圆Q的方程为

x2

16

+

y2

9

=1；
（2）由题意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R（4，

9

4

）．
可得直线ER的方程为y=3x-3，直线GR′的方程为y=-

3

16

x+3
联立可解得L(

96

51

，

135

51

)，代入椭圆方程

x2

16

+

y2

9

=1成立，得证．
（3）由（2）知，直线ER_i（i=1，2，…，n-1）与直线GT_i（i=1，2，…，n-1）的交点一定在椭圆Q上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线焦点坐标的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．