Question

13．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a的最大值为1
（1）求出实数a的值，并指出当x取何值时，f（x）取最大值1
（2）若方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围及两个实数解的和．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），根据f（x）的最大值为1求出a的值，再求出f（x）取最大值时x的值；
（2）画出函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]内的图象，结合图象求出方程f（x）=m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上
有两个不同的实数解时m的取值范围以及这两个实数根的和．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x+a
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，
又f（x）的最大值为1，
得2+a=1，
解得a=-1；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1；
令sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，
即2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
此时f（x）取最大值1；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1∈[$\sqrt{3}$-1，1]；
函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1在[0，$\frac{π}{2}$]内的图象如图所示：

要使方程f（x）=m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的实数解，
则$\sqrt{3}$-1≤m＜2；
设函数f（x）=m的两个实数根为x₁、x₂，
且x₁、x₂关于x=$\frac{π}{12}$对称，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{12}$×2=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了利用函数的图象解答方程f（x）=m根的问题，是综合性题目．