Question

已知8张奖券中有一、二等奖各1张，三等奖2张，其余4张无奖，现将这8张奖券随机分配给甲、乙、丙、丁四人，每人2张．
（1）求至少有3人获奖的概率；
（2）若一、二、三等奖的奖金分别为100元、70元、20元，设甲最终获得资金X元，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）由题意，每人2张总可能情况有：

C

2 8

•

C

2 6

•

C

2 4

•

C

2 2

=7×6×5×4×3；再求只有两个获奖的情况有：

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

•

C

2 4

C

2 2

=6×6×6；从而利用对立事件求解概率；
（2）由题意X的可能取值为0，20，70，100，40，90，120，170；分别求概率，从而列分布列并求数学期望．

解答： 解：（1）每人2张总可能情况有：

C

2 8

•

C

2 6

•

C

2 4

•

C

2 2

=7×6×5×4×3；
只有两个获奖的情况有：

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

•

C

2 4

C

2 2

=6×6×6；
故至少有3人获奖的概率为1-

6×6×6

7×6×5×4×3

=

32

35

；
（2）由题意X的可能取值为0，20，70，100，40，90，120，170；
P（X=0）=

C 2 4 • C 2 6 • C 2 4 • C 2 2

7×6×5×4×3

=

3

14

；
同理，P（X=20）=

2

7

，P（X=70）=P（X=100）=

1

7

；P（X=40）=P（X=170）=

1

28

；
P（X=90）=P（X=120）=

1

14

；
故X的分布列为

X	0	20	70	100	40	90	120	170
P	3 14	2 7	1 7	1 7	1 28	1 14	1 14	1 28

故数学期望为EX=0×

3

14

+20×

2

7

+70×

1

7

+100×

1

7

+40×

1

28

+90×

1

14

+120×

1

14

+170×

1

28

=52.5．

点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．