Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．
（2）解不等式f（x）＜f（x²）．
（3）若对任意x∈[-1，1]，函数f（x）≤2m²-2am+3对所有的a∈[0，

3

2

]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题

分析：（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；
（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；
（3）对所有x[-1，1]，f（x）≤2m²-2am+3成立，等价于f（x）_max≤2m²-2am+3，由单调性易求f（x）_max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．

解答： 解：（1）证明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
又f（x）是奇函数，
于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

(x1-x2)．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）f（x）＜f（x²），由函数单调性性质知，x＜x²，而-1≤x≤1，-1≤x²≤1
故不等式的解集为{x|-1≤x＜0}．
（3）对所有x[-1，1]，f（x）≤2m²-2am+3成立，等价于f（x）_max≤2m²-2am+3，
由f（x）在[-1，1]上的单调递增知，f（x）_max=f（1）=2，
所以2≤2m²-2am+3，即0≤2m²-2am+1，
又对a∈[0，

3

2

]恒成立，则有

2m2+1≥0 2m2-3m+1≥0

，解得m≤

1

2

或m≥1，
故实数m的取值范围为m≤

1

2

或m≥1．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．