Question

10．已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）证明单调性可用定义解决．

解答 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$
由f（0）=f（-0）=-f（0），得f（0）=0．
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，x∈（0，1）}\\{0，x∈\{-1，0，1\}}\\{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1）}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{2}+{x}_{1}}$-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减．
同理f（x）在（-1，0）上单调递减．

点评 本题考查奇偶性、函数单调性的判断与证明的综合应用，及函数与方程的综合运用，综合性较强．