题目内容

19.已知无穷等比数列{an}中,a1=1,公比为q(q>0),Sn是数列的前n项的和,记Tn=a2+a4+a6+…+a2n,求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$的值.

分析 对q分类讨论,利用等比数列的前n项和公式可得Sn,Tn,再利用数列极限法则即可得出.

解答 解:当q=1时,Sn=n,Tn=n,∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n}$=1.
当q≠1时,Sn=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$,Tn=$\frac{{a}_{1}q(1-{q}^{2n})}{1-{q}^{2}}$,∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+q}{q(1+{q}^{n})}$.
当0<q<1时,$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{1+q}{q}$.
当1<q时,$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=0.
综上可得:$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1,q=1}\\{\frac{1+q}{q},0<q<1}\\{0,q>1}\end{array}\right.$.

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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