Question

已知ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，E，F是侧棱PD，PC的中点．
（1）求证EF∥平面PAB；
（2）求证平面PBD⊥平面PAC；
（3）求直线PC与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由中位线得EF∥CD，再由平行线的传递性得EF∥AB，然后结合定理在说明清楚即可；
（2）关键是证明BD⊥平面PAC，再结合BD?平面PBD，就可证明平面PBD⊥平面PAC；
（3）由于PA⊥平面ABCD，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角，结合三角函数可求出其正切值．

解答： （1）证明：∵ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，
E，F是侧棱PD，PC的中点，
∴EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AB，又EF不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC，平面PBD⊥平面PAC．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成角，
∵PA=AB，AC=

2

AB，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

2

2

．
∴直线PC与底面ABCD所成的角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行，面面垂直的判定方法是关键．