Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上最大值及最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系，即可求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上最大值及最小值；
（Ⅱ）根据函数f（x）有两个零点，确定函数极值的关系，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：f′(x)=x+

a

x

（Ⅰ）定义域为[

1

e

，e]，当a=-1时，f′(x)=x-

1

x

＞0⇒x＞1，
∴f（x）在[

1

e

，1]上单调递减，在[1，e]上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=

1

2

，
∵f(

1

e

)-f(e)=

1

2e2

+1-

1

2

e2+1=

-(e2-2)2+3

2e2

＜

-(22-2)2+3

2e2

＜0，
∴f(x)max=f(e)=

1

2

e2-1．
（Ⅱ）当a≥0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）的单调递增
从而f（x）不可能有两个零点．
当a＜0时，令f′(x)=0⇒x=

-a

(x＞0)
当x∈(0，

-a

)时，f′（x）＜0，f（x）在(0，

-a

)上单调递减，
当x∈(

-a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）在(

-a

，+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(

-a

)=-

1

2

a+

1

2

aln(-a)，
∴f（x）有两个零点的充要条件是

a＜0 - 1 2 a+ 1 2 aln(-a)＜0

⇒a＜-e，
∴实数a的取值范围是（-∞，-e）．

点评：本题主要考查函数最值的求解，以及函数零点的应用，根据导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．