Question

已知函数f（x）=mx+lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．
（1）当m=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）m=-1时，f（x）=-x+lnx，（x＞0），先求出f′（x）=-1+

1

x

，从而得出函数的单调区间，进而求出函数的最大值；
（2）先求出f′（x）=m+

1

x

，再讨论①m≥0，②m＜0时的情况，从而求出参数m的值．

解答： 解：（1）m=-1时，f（x）=-x+lnx，（x＞0），
∴f′（x）=-1+

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_最大值=f（1）=-1，
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，
①m≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，e]递增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合题意，
②m＜0时，令f′（x）=0，解得：x=-

1

m

，
若-

1

m

≥e，则f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，e]递增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合题意，
若-

1

m

＜e，此时f′（x）＞0在（0，-

1

m

）上成立，
f′（x）＜0在（-

1

m

，e]上成立，
此时f（x）在（0，e]先增后减，
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

）=-3，
∴m=-e²，符合题意，
∴m=-e²．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．