题目内容

已知
a
=（cosx，
3
sinx），
b
=（2cosx，2cosx），f（x）=
a
•
b
+m
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，
π
2
]上的最小值为2，求f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值．
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：平面向量及应用
分析：（I）f（x）=
a
•
b
+m=2cos2x+2
3
sinxcosx+m=cos2x+
3
sin2x+1+m=2sin(2x+
π
6
)+1+m．
可得f（x）的最小正周期T=
2π
2
．由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，解出即可得出单调递增区间．
（II）由x∈[0，
π
2
]，可得(2x+
π
6
)∈[
π
6
，
7π
6
]，因此当2x+
π
6
=
7π
6
，即x=
π
2
时函数f（x）取得最小值2，可得2×(-
1
2
)+1+m=2，解得m．当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时函数f（x）取得最大值．
解答： 解：（I）f（x）=
a
•
b
+m=2cos2x+2
3
sinxcosx+m=cos2x+
3
sin2x+1+m=2sin(2x+
π
6
)+1+m．
∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，解得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）．
（II）∵x∈[0，
π
2
]，∴(2x+
π
6
)∈[
π
6
，
7π
6
]，
因此当2x+
π
6
=
7π
6
，即x=
π
2
时函数f（x）取得最小值2，∴2×(-
1
2
)+1+m=2，解得m=2．
当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时函数f（x）取得最大值，f(
π
6
)=2+1+2=5．
点评：本题考查了三角函数的单调性周期性及其最值、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
=（sinx-1，1），
b
=（sinx+3，1），
c
=（-1，-2），
d
=（k，1），k∈R．
（Ⅰ）若x∈[-
π
2
，
π
2
]，且
a
∥（
b
+
c
），求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（
a
+
d
）⊥（
b
+
c
），求k的取值范围．
在平行四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，
AM
=(1，2) ， 
AN
=（3，1），则
AB
•
AM
=
 
．
（Ⅰ） 如图，一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB．
（Ⅱ） 已知f（x）=-sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤
17
4
对一切x∈R恒成立，求实数a的范围．
在等比数列{an}中，a1=2，公比q=2．
（Ⅰ）设Sn为{an}的前n项和，证明：Sn+2=2an；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是3，a1，a2，求△ABC的面积．
若向量
a
=（x，y），
b
=（-1，2），且
a
+
b
=（1，3），则|
a
-2
b
|=
 
．
函数f（x）=|lnx|-ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是
 
．
已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0，
（1）求f（-1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）当f（16）=2时，解不等式f（x）+f（6x-5）＜1．
已知函数f（x）=ex-
1
2
（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）
A、（-∞，
1
e
）
B、（-∞，
e
）
C、（-
1
e
，
e
）
D、（-
e
，
1
e
）

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