Question

在△ABC中内角A所对边的长为定值a，函数f（x）=cos（x+A）+cosx的最大值为

6 + 2

2

．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积的最大值为2+

3

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角形的面积公式

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）运用两角和的余弦公式，结合余弦函数的值域，求得最大值，进而得到A；
（Ⅱ）运用余弦定理和均值不等式，求出bc的最大值，再由条件运用面积公式，解方程，即可得到a．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（x+A）+cosx
=cosxcosA-sinxsinA+cosx=cosx（1+cosA）-sinxsinA
=

(1+cosA)2+sin2A

cos（x+θ）（θ为辅助角），
则f（x）最大值为

(1+cosA)2+sin2A

=

2+2cosA

，
由于A为三角形的内角，则为2cos

A

2

=

6 + 2

2

，
则

A

2

=15°，则A=30°；
（Ⅱ）由于a²=b²+c²-2bccos30°≥2bc-

3

bc，
即有bc≤

a2

2- 3

，
则

1

2

bcsin30°=

1

4

bc≤

1

4

(2+

3

)a2，
当且仅当b=c取得最大值．
则由△ABC的面积的最大值为2+

3

，
则有

1

4

(2+

3

)a2=2+

3

，解得a=2．

点评：本题考查三角函数的最值的求法，考查余弦定理和面积公式的运用，均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．