Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，试判断椭圆两焦点F₁，F₂到直线l的距离之积是否为定值，若是求出此定值；否则，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：e=

c

a

=

2

2

，∴e²=

1

2

，
∴a²=2b²，
又因为圆x²+y²=b²与直线x+y-

2

=0相切，
b²=1，a²=2，
故所求椭圆C方程为

x2

2

+y²=1，
（Ⅱ）由题意设直线l方程为：y=kx+t，
由

y=kx+t x2 2 +y2=1

去y得，（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
∵直线l与椭圆C相切，∴△=0，
即（4tk）²-4（1+2k²）（2t²-2）=0，
化简得：t²=1+2k²，
设椭圆两焦点F₁，F₂到直线l的距离分别为d₁，d₂，则
d₁•d₂=

|-k+t||k+t|

1+k2• 1+k2

=

|-k2+t2|

1+k2

=

|-k2+1+2k2|

1+k2

=1，
故椭圆的两焦点F₁，F₂到直线l的距离之积是定值，定值为1．

点评：本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解，属于中档题．