Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂=2，a₃•a₅=64
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n+1•b_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n-1，可得a_n+1•b_n+1=n•2ⁿ．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q＞0，
∵a₂=2，a₃a₅=64，∴a₁q=2，a1q2•a1q4=64，解得q=2，a₁=1．
∴an=2n-1．
（2）b_n=log₂a_n=n-1，
∴a_n+1•b_n+1=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2×

2n-1

2-1

-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了“错位相减法”和等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．