Question

6．如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=$\sqrt{2}$，BF=CF=$\sqrt{5}$，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．
（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；
结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；
结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．
（2）若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分别连结MN、EM、FN，推导出AD⊥平面EMN，BC⊥平面FMN，由结论1得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．再由AD、BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，利用结论2得到平面EMN和平面FMN重合，由此能证明E、F、M、N四点共面．
（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的余弦值．

解答 证明：（1）分别连结MN、EM、FN，
则由题意知：
①AD⊥MN，AD⊥EM，
∵MN、EM?平面EMN，∴AD⊥平面EMN．
②BC⊥MN，BC⊥FN，
∵MN，FN?平面FMN，∴BC⊥平面FMN．
由结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个，
得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．
又∵AD、BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，
由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，
得到过MN垂直于平面ABCD的面是唯一的，
∴平面EMN和平面FMN重合，
∴E、F、M、N四点共面．
解：（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，
则∠EME′=∠FNF′=60°，由题意可知：EM=1，FN=2，
∴ME′=$\frac{1}{2}$，EE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NF′=1，FF′=$\sqrt{3}$，E′F′=$\frac{5}{2}$，${E}^{'}N=\frac{7}{2}$，
以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，-$\frac{1}{2}$，0），B（1，$\frac{7}{2}$，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，$\frac{5}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{EA}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（1，$\frac{7}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=x-\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=\frac{5}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=a+\frac{7}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=-5，得$\overrightarrow{m}$=（-6$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，-5），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{238}}{17}$，
由图形知二面角A-BE-F是钝二面角，
故二面角A-BE-F的余弦值为-$\frac{\sqrt{238}}{17}$．

点评 本题考查四点共面的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．