Question

11．已知数列{a_n}满足lna₁+$\frac{{ln{a_2}}}{2}+\frac{{ln{a_3}}}{3}+…+\frac{{ln{a_n}}}{n}$=2n，则数列{a_n}的前项的乘积为e^n（n+1）．

Answer 1

分析 利用数列递推关系可得a_n，再利用指数运算性质、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足lna₁+$\frac{{ln{a_2}}}{2}+\frac{{ln{a_3}}}{3}+…+\frac{{ln{a_n}}}{n}$=2n，
∴n≥2时，lna₁+$\frac{ln{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{ln{a}_{n-1}}{n-1}$=2（n-1），
相减可得：$\frac{ln{a}_{n}}{n}$=2，可得a_n=e²ⁿ．
n=1时，lna₁=2，可得a₁=e²．
∴数列{a_n}的前项的乘积=e^2+4+…+2n=${e}^{\frac{n（2+2n）}{2}}$=e^n（n+1）．
故答案为：e^n（n+1）．

点评 本题考查了数列递推关系、指数运算性质、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．