Question

14．已知向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}cosx，-1}），\overrightarrow n=（{sinx，{{cos}^2}x}）$．
（1）当x=$\frac{π}{3}$时，求$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的值；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{1}{2}$，求cos2x的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量的坐标，再计算数量积；
（2）化简$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，得出cos（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用和角公式计算cos2x．

解答 解：（1）当x=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．
（2）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$，则sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴cos（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴cos2x=cos（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，属于中档题．