Question

关于函数f（x）=2

|x|

x2+1

，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②f（x）在（-∞，0）上是增函数；
③f（x）的最大值为1；
④对任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的三边长．
其中正确的序号是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：先根据函数的奇偶性判断出①正确，再根据函数的单调性和基本不等式求出函数的值域为[0，

2

]，继而判断出②③错误，④正确

解答： 解：因为f（-x）=2

|x|

x2+1

=f（x），所以函数为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故①正确，
因为f（x）=2

|x|

x2+1

，设g（x）=

|x|

x2+1

，
则g（x）=

1

|x|+ 1 |x|

≤

1

2

当且仅当x=±1时取等号，故0≤g（x）≤

1

2

，
而函数y=2^x为增函数，故函数的f（x）的值域为[1，

2

]，且x∈（-∞，-1），[0，1）上为增函数，
在[-1，0]，[1，+∞）为减函数，故②③错误，
对任意a，b，c∈R不妨假设a≤c，b≤c，因为函数的值域为[1，

2

]，则1≤f（a）≤

2

，1≤f（b）≤

2

，1≤f（c）≤

2

，
则2≤f（a）+f（b）≤2

2

，故f（a）+f（b）＞f（c），故f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的三边长．故④正确．
故正确的序号为①④，
故选：C

点评：本题主要考查了函数奇偶性和单调性以及基本不等式，属于中档题．