Question

在△ABC中，

sinA+sinB

sin(A+B)

=

2 sinA-sinC

sinA-sinB

（1）求角B；
（2）若tanA=

4

3

，求sinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）原式由正弦定理可化简为a2-b2=

2

ac-c2，从而由余弦定理可求得cosB=

2

2

，从而可求角B；
（2）若tanA=

4

3

，可先求sinA，cosA的值，从而可求sinC的值．

解答： 解：（1）原式可化简为sin2A-sin2B=

2

sinA•sinC-sin2C，
由正弦定理知：a=sinA×2R，b=sinB×2R，c=sinC×2R，代入上式，
∴a2-b2=

2

ac-c2，
由余弦定理可知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2 ac

2ac

，
∴cosB=

2

2

∵B∈(0，π)∴B=

π

4

（2）∵tanA=

4

3

，A为锐角，sinA＞0，cosA＞0，

sinA

cosA

=

4

3

，故有sinA=

4

3

cosA
由于sinA²+cosA²=1，故有(

4

3

cosA)2+cosA2=1，
∴sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式、余弦定理、正弦定理的综合应用，属于基础题．