Question

设f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的图象与x轴的两个交点为（-3，0），（2，0）
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域为[0，2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）的图象与x轴的交点的横坐标分别是-3和2，可知-3和2为方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，利用韦达定理，列出方程组，求解即可得到f（x）；
（2）根据（1）所得的解析式，求出二次函数的对称轴，根据定义域在对称轴的右边为减区间，即可判断出f（x）的最值，从而求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的图象与x轴的交点的横坐标分别是-3和2，
∴-3和2为方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，
∴

-3+2= 8-b a -3×2= -a-ab a

，解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由（1）知，f（x）=-3x²-3x+18，
∵函数f（x）的定义域是[0，2]，
∴x∈[0，2]，
f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

75

4

，对称轴x=-

1

2

，
则区间[0，2]在对称轴的右边，为减区间，
∴当x=2时，f（x）取得最小值0，
当x=0时，f（x）取得最大值18，
∴函数f（x）的值域为[0，18]．

点评：本题考查了求函数的解析式，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查了函数的零点问题，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．同时考查了二次函数在闭区间上的最值问题．属于中档题．