Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=1，a_na_n+1-a_n²+2a_n+1-4a_n-4=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知S_n是数列{

4

anan+1

}的前n项和，求证：

4

3

≤S_n≤2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，由数列{a_n}的各项均为正数，得{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此求出a_n=2n-1．
（2）由

4

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法求出S_n=

4n

2n+1

，由此能证明

4

3

≤Sn＜2．

解答： （1）解：∵a_na_n+1-a_n²+2a_n+1-4a_n-4=0，
∴（a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：由（1）知a_n=2n-1，
∴

4

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

，
∴S_n+1-S_n=

4(n+1)

2n+3

-

4n

2n+1

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴{S_n}是单调增数列，
∴Sn≥S1=

4

3

，
又∵Sn=2(1-

1

2n+1

)＜2，
∴

4

3

≤Sn＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．