Question

1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=4，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：AF⊥PE．

Answer 1

分析 （1）由V_E-PAD=V_P-EAD，能求出三棱锥E-PAD的体积．
（2）法1：推导出PA⊥AB，AF⊥PB，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥AF，由AF⊥PB，AF⊥BC，得AF⊥平面PBC，由此能证明AF⊥PE．
法2：建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明AF⊥PE．

解答 （本小题（12分），（1）小问（6分），（2）小问6分）
解：（1）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴${S_{△EAD}}=\frac{1}{2}AD•AB=4$，
∴${V_{E-PAD}}={V_{P-EAD}}=\frac{1}{3}{S_{△EAD}}•PA=\frac{8}{3}$…（6分）
证明：（2）证法1：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵PA=AB=2，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB，
又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，…（9分）
又AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
由AF⊥PB，AF⊥BC，PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC，
∵PE?平面PBC，∴AF⊥PE…（12分）
证法2：如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（4，2，0），…（8分）
∴F（0，1，1），∵点E在边BC上，设E（x，2，0）（0≤x≤4），
则 $\overrightarrow{AF}=（0\;，\;1\;，\;1）$，$\overrightarrow{PE}=（x\;，\;2\;，\;-2）$，…（10分）
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PE}=0$，∴AF⊥PE…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．