Question

6．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若对任意$x∈[-\frac{1}{2}，1]$，不等式f（x）≥|2x+a|-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≤6的解集；
（2）利用等价转化思想，可得|2x+a|≤8，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）1°当$x≤-\frac{1}{2}$时，-2x-1-2x+3≤6⇒x≥-2；
2°当$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$时，2x+1-2x+3≤6恒成立；
3°当$x≥\frac{3}{2}$时，4x-2≤6⇒x≤2
综上，解集为[-2，2]；
（2）f（x）≥|2x+a|-4?|2x+a|≤8
即-8≤2x+a≤8$⇒\left\{\begin{array}{l}a-1≥-8\\ a+2≤8\end{array}\right.$⇒-7≤a≤6．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．