Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面MBD．
（1）求证：M是PC的中点；
（2）求多面体PABMD的体积．

Answer 1

分析 （1）连AC交BD于E，连ME．推导出PA∥ME，由此能证明M是PC的中点．
（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，从而PO⊥面ABCD，由此能求出多面体PABMD的体积．

解答 证明：（1）连AC交BD于E，连ME．
∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．
又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线，
∴PA∥ME，
∴M是PC的中点．
解：（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，
由平面PAD⊥底面ABCD，得PO⊥面ABCD，
∴$PO⊥OC，OC=\sqrt{13-3}=\sqrt{10}$，∴$CD=\sqrt{10-1}=3$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•2•3•\sqrt{3}=2\sqrt{3}，{V_{M-BCD}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•3•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{PABMD}}=2\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查点是线段的中点的证明，考查多面体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．