Question

16．已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，A是其右顶点，B是该椭圆在第一象限部分上的一点，且$∠AOB=\frac{π}{4}$，若点C是椭圆上的动点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为（　　）

• A． [-3，3]
• B． [-9，3]
• C． $[-2-\sqrt{3}\;，\;2-\sqrt{3}]$
• D． $[-3\sqrt{3}\;，\;3]$

Answer 1

分析 求得直线OB的斜率，代入椭圆方程，求得B点坐标，设C点坐标，利用向量数量积的坐标运算及余弦函数的性质，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围．

解答 解：由椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$焦点在x轴上，A点坐标为（$\sqrt{6}$，0），∵$∠AOB=\frac{π}{4}$，
∴直线OB所在的直线为：y=x，
设B点坐标为（x，x），（x＞0）
将B点坐标代入到椭圆方程$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，解得：x²=$\frac{3}{2}$，则x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴B点坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
设C点坐标为（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴当cosθ=-1时，取最小值，最小值为-6-3=-9，
当cosθ=1时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最大值，最大值为6-3=3，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围[-9，3]．
故选B．

点评 本题考查椭圆的参数方程，向量数量积的坐标运算，余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．