Question

11．已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求出f（x）最小值为3，从而3≥a，即可求实数a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）当x＞2时，原不等式可化为x-2+x+1＞4，即x＞2.5；
当-1≤x≤2时，原不等式可化为2-x+x+1＞4，此时无解；
当x＜-1时，原不等式可化为2-x-x-1＞4，即x＜-1.5，
综上所述，原不等式的解集是{x|x＜-1.5或x＞2.5}．…（5分）
（Ⅱ）由绝对值的性质得f（x）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
所以f（x）最小值为3，从而3≥a，解得a≤3，
因此a的最大值为3．…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．