题目内容

11.质点P从如图放置的正方形ABCD的顶点A出发,根据掷骰子的情况,按照以下的规则在顶点间来回移动:如果朝上数字大于等于5,向平行于AB边的方向移动;如果朝上数字小于等于4,向平行于AD边的方向移动.记掷骰子2n(n∈N*)次后质点P回到A点的概率为an,回到C点的概率为cn.
(I)求a1的值;
(II)当n=2时,设X表示质点P到达C点的次数,X的分布列和期望;
(III)当m=2015时,试比较a2015c2015,$\frac{1}{2}$的大小(只需写出结论).

分析 (Ⅰ)由题意利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式能求出a1.
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.
(Ⅲ)当m=2015时,能比较质点P回到A点的概率、回到C点的概率和$\frac{1}{2}$的大小.

解答 解:(Ⅰ)由题意${a}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{9}$.
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=($\frac{1}{3}$)4+($\frac{2}{3}$)4+2×($\frac{1}{3}$)2×($\frac{2}{3}$)2=$\frac{25}{81}$,
P(X=1)=$4×(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{1}{3})^{2}$+2×$(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}+2×(\frac{2}{3})×(\frac{1}{3})^{3}$=$\frac{36}{81}$,
P(X=2)=$2×(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}+2×(\frac{2}{3})×(\frac{1}{3})^{3}$=$\frac{20}{81}$,
∴X的分布列为:

 X 0 1 2
 P $\frac{25}{81}$ $\frac{36}{81}$ $\frac{20}{81}$
∴EX=$0×\frac{25}{81}+1×\frac{36}{81}+2×\frac{20}{81}$=$\frac{76}{81}$.
(Ⅲ)当m=2015时,a2015>$\frac{1}{2}$>c2015.

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式的合理运用.

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