质点P从如图放置的正方形ABCD的顶点A出发.根据掷骰子的情况.按照以下的规则在顶点间来回移动:如果朝上数字大于等于5.向平行于AB边的方向移动,如果朝上数字小于等于4.向平行于AD边的方向移动．记掷骰子2n(n∈N*)次后质点P回到A点的概率为an.回到C点的概率为cn．(I)求a1的值,(II)当n=2时.设X表示质点P到达C点的次数.X的分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

质点P从如图放置的正方形ABCD的顶点A出发，根据掷骰子的情况，按照以下的规则在顶点间来回移动：如果朝上数字大于等于5，向平行于AB边的方向移动；如果朝上数字小于等于4，向平行于AD边的方向移动．记掷骰子2n（n∈N^*）次后质点P回到A点的概率为a_n，回到C点的概率为c_n．
（I）求a₁的值；
（II）当n=2时，设X表示质点P到达C点的次数，X的分布列和期望；
（III）当m=2015时，试比较a₂₀₁₅c₂₀₁₅，$\frac{1}{2}$的大小（只需写出结论）．

分析（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式能求出a₁．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）当m=2015时，能比较质点P回到A点的概率、回到C点的概率和$\frac{1}{2}$的大小．

解答解：（Ⅰ）由题意${a}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{9}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=（$\frac{1}{3}$）⁴+（$\frac{2}{3}$）⁴+2×（$\frac{1}{3}$）²×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{25}{81}$，
P（X=1）=$4×（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$+2×$（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}+2×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{36}{81}$，
P（X=2）=$2×（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}+2×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{20}{81}$，
∴X的分布列为：