Question

16．已知实数x，y 满足$\left\{\begin{array}{l}{x-3y-6≤0}\\{y≤2x+4}\\{2x+3y-12≤0}\end{array}\right.$，直线（1+λ）x+（1-2λ）y+3λ-12=0（λ∈R）过定点A（x₀，y₀），则z=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{5}$]∪[7，+∞）
• B． [$\frac{1}{5}$，7]
• C． （-∞，$\frac{1}{7}$]∪[5，+∞）
• D． [$\frac{1}{7}$，5]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由直线系方程求出直线所过定点A，结合图形由两点求斜率得答案．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

由（2+λ）x-（3+λ）y+（1-2λ）=0，得（2x-3y+1）+λ（x-y-2）=0，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+1=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（7，5），
∴直线（2+λ）x-（3+λ）y+（1-2λ）=0（λ∈R）过定点A（7，5），
z=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$即 $\frac{y-5}{x-7}$的几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点A（7，5）连线的斜率．
由图可知：k_AB=$\frac{5-0}{7-6}$=5，k_AC=$\frac{5-4}{7-0}$=$\frac{1}{7}$，
∴z=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}$的取值范围为[$\frac{1}{7}$，5]．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．