Question

19．已知曲线f（x）=x+e^2x-m在x=0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{6}$，则实数m的值为2或0．

Answer 1

分析 先求出其导函数，得到切线方程；进而求出切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积，可得结论．

解答 解：∵f（x）=x+e^2x-m，∴f′（x）=1+2e^2x．
∴当x=0时，f′（x）=3，
∴曲线f（x）=x+e^2x-m在x=0处的切线斜率为3，又∵切点坐标为（0，1-m），
∴切线的方程为：y-1+m=3x⇒y=3x+1-m．
故切线l与两坐标轴的交点坐标为：（0，1-m）和（$\frac{m-1}{3}$，0）
∴切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×|1-m|×|$\frac{m-1}{3}$|=$\frac{1}{6}$，
∴m=2或0，
故答案为2或0．

点评 本题主要考查导数在求曲线上切线的斜率方面的应用，做题时熟记导数的几何意义．