Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S₅=30，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=2ⁿ-1．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n，求数列{c_n}的前n项和M_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的前n项和，求出公差，然后求数列{a_n}，利用求和公式，转化求解{b_n}的通项公式；
（II）化简c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n，然后求解数列{c_n}的前n项和M_n．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列，∴${S_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d⇒30=5×2+10d⇒d=2$，
∴a_n=2n…（3分）
数列{b_n}的前n项和为T_n，且${T_n}={2^n}-1$，
∴b₁=1，n≥2时${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={2^{n-1}}（n∈{N^*}）$…（6分）
（Ⅱ）${S_n}=2•\frac{n（n+1）}{2}=n（n+1）$…（7分）
${c_n}=ln{b_n}+{（-1）^n}ln{S_n}=ln（{2^{n-1}}）+{（-1）^n}ln[n（n+1）]$=（n-1）ln2+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]…（8分）
∴${M_n}=ln2×[0+1+2+…+（n-1）]+{N_n}=\frac{n（n-1）}{2}ln2+{N_n}$
其中${N_n}=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…+{（-1）^n}[lnn+ln（n+1）]$=（-1）ⁿln（n+1）…（10分）∴${M_n}=\frac{n（n-1）}{2}ln2+{（-1）^n}ln（n+1）$…（12分）

点评 本题考查数列求和等差数列和的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．