Question

14．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\frac{5}{2}\overrightarrow b）$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积运算与夹角公式，求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值，即可得出结论．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\frac{5}{2}\overrightarrow b）$，
设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{5}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2²-$\frac{3}{2}$×2×1×cosθ-$\frac{5}{2}$×1²=0，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
所以θ=$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了用两个向量的数量积表示两向量的夹角与两向量垂直的性质，属于基础题．