Question

函数y=f（x）为定义在R上的增函数，对任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，设z=x+2y，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，则当1≤x≤4时，z的取值范围是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：首先根据条件对任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，以及f（x）为定义在R上的增函数，将f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0化为x²-2x≥y²-2y，在同一直角坐标系中，作出1≤x≤4，且（x-y）（x+y-2）≥0的可行域，画出目标函数z=x+2y=0的图象，将其平移观察即可得到z=x+2y的最值．

解答： 解：∵对任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，
∴-f（x）=f（-x），
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，即f（x²-2x）≥-f（2y-y²），
∴f（x²-2x）≥f（-2y+y²），
∵函数y=f（x）为定义在R上的增函数，
∴x²-2x≥y²-2y，即（x-y）（x+y-2）≥0，
在同一直角坐标系中，作出1≤x≤4，且（x-y）（x+y-2）≥0的可行域，
画出目标函数z=x+2y=0的图象，将其平移观察，
经过点A（4，-2），z取最小值0；
经过点B（4，4），z取最大值12．
∴当1≤x≤4时，z的取值范围是[0，12]．
故答案为：[0，12]．

点评：本题主要考查函数的单调性及运用，同时考查运用线性规划求目标函数的最值的方法，注意正确画图作出可行域，再平移，考查转化的数学思想方法．